فراکتال ها به ما چه می گویند؟

به ضيافت فراکتال برويد!

فیزیک _اختر فیزیک _دیرین شناسی و تکامل

وبلاگی برای اشتراک گذاری مقالات و سخنرانی های بنده تحت عنوان وبلاگ

فرکتالها و هندسه برخالی

بَرخال [۱] یا فرکتال ، یا فراکتال (Fractal) ساختاری هندسی است که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست آید. به گفتاری دیگر برخال ساختاری است که هر بخش از آن با کل‌اش همانند است. برخال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. به این ویژگی خودهمانندی گویند. [۱]

فرکتال fractal از واژه لاتین fractus یا fractum به معنی شکسته گرفت شده است که بیانگر یکی از شناسه‌های اصلی برخال -بخش‌‌شدنی- است. واژه فرکتال به معنای سنگی است که به گونه نامنظم شکسته شده باشد.

پیشنهاد فرهنگستان زبان فارسی

فرهنگستان زبان فارسی واژه برخال را برگزید که از واژه برخ به معنی بخش و پسوند -ال (مانند چنگال) پدید آمده‌است و با واژه فراکتال هم‌‌چم (هم‌معنی) است. [۱]

واژه فرکتال در سال ۱۹۷۶ توسط ریاضیدان فرانسوی به نام بنوا مندلبرو وارد دنیای ریاضی شد. . مندل برات هنگامی که پیرامون طول سواحل انگلیس می پژوهید دریافت که هرگاه با مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود کمتر از زمانی است که مقیاس کوچک تر باشد.

ویژگی ریختهای برخال

بسیار دور از پیش بینی است.
فرگشت (تکامل) هم‌زمان دارد.
دارای جایگزینی بهینه است.
ریشه در قوانین ساده دارد.
در شکل‌گیری گونه از تکرار بهره‌می‌جوید.
سامانه‌ای تو در تو است.
ریختهای اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا ساخته می‌شوند ولی ریختهای برخال با فرایندهای پویا ساخته می‌شوند. فرایندهای پویا، فرایندهایی هستند که دارای حافظه می‌باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد.
دارای ویژگی خود همانندی است.
هر فرایند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده برخال نمی‌شود. سازوکار فرآوری چنین ساختارهای پویایی، آشوب است. در حقیقت، برخال نگاره‌ای ریاضی از آشوب است.

هندسه برخال

برخال فراکتال ها به ما چه می گویند؟ فراکتال ها به ما چه می گویند؟ از دید هندسی به چیزی گویند که دارای سه ویژگی زیر باشد:

دارای ویژگی خود‌همانندی باشد یا به انگلیسی self-similar باشد.
در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد.
بعد آن یک عدد صحیح نباشد مثلاً ۱٫۵

محاسبه بعد برخال‌ها

بعد خط یک، بعد صفحه دو و بعد فضا سه است. برخال‌ها برخلاف همهٔ اینها بعد صحیح ندارند. برای نمونه بعد یک برخال‌ می‌تواند ۱٫۲ باشد که بدین چم از خط پیچیده‌تر و از صفحه سادتر است. بعد برخال‌ها از یک سری فرمول‌های لگاریتمی بدست می‌آیند.

این سیستم که دارای علامت اختصاری IFS - Iterated Function System - است، سیستم تکرار را مطرح می‌کند که به نوعی پایهٔ هندسه فرکتال است. تکرار یکی از راه‌های ایجاد فرم در معماری است اما در فرکتال این فرم بایستی دارای مشخصات هندسی که در قسمت هندسه فرکتال مطرح شد را دارا باشد. به طور کلی این تکرار می‌تواند از کنار هم قرار گرفتن یک شیء بدست آید و یا اینکه یک موضوع نسبت به موضوع دیگر و به طور متوالی کوچک شود.

شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می‌گوییم که هر گاه قسمت‌هایی از آن فراکتال ها به ما چه می گویند؟ با یک مقیاس معلوم، یک نمونه از کل شیئی باشد. ساده‌ترین مثال برای یک شیئ خود متشابه در طبیعت گل کلم است که هر قطعهٔ کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است. همین‌طور درخت کاج یک شیئ خود متشابه است، چرا که هر یک از شاخه‌های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر. همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد.

رشته کوه‌ها، پشته‌های ابر، مسیر رودخانه‌ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثالهایی از یک ساختمان خود متشابه هستند. فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می‌باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است.

جسم فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. مثلاً وقتی به یک کوه نگاه می‌کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می‌بینیم که روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می‌شود ولی وقتی نزدیک می‌شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند و یا شاخه‌های یک درخت شبیه خود درخت هستند. البته در طبیعت نمونه‌های اجسام فراکتال فراوان است مثلاً ابرها -رودها -سرخس‌ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است؛ و اگر به ساخته‌های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه‌های سیلیکان و یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند؛ و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تأمین کند. گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.

این فرم‌ها که به صورت طبیعی وجود دارند دارای ساختاری خود متشابه هستند حتی در مقیاس میکروسکپی یک‌دانه برف دارای فرمی خود متشابه است.

مجموعه‌های مندلبرو دارای پیچیدگی خاصی هستند. زمانی که یک فرم حالتی پیچیده پیدا می‌کند و یا به عبارت دیگر به عناصر خرد تشکیل دهنده کل می‌رسد، فرم‌هایی بسیار پیچیده اما در عین حال منظمی را به ما می‌دهد که در اشکال زیر و نمونه‌های پیش فرض و آماده در فرکتال اکسپلورر گذاشته شده فراکتال ها به ما چه می گویند؟ است.

برخال در مناظر طبیعی

این فرم‌ها همان‌طور که از اسم آنها پیداست دارای فرمی طبیعی هستند (عدم دستبرد دست بشر). شاید بسیار در عکاسی معماری (برای عکس از یک سوژه) به یک منظره برخورد کرده باشید که در دوردست تپه‌ها و کوه‌ها دیده می‌شوند، بد نیست بدانید که خود این منظره دارای فرمی فرکتال با هندسه فرکتال قابل حل است.

الگوهای رویش برخالی

ایده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال ۱۸۷۲ کارل وایرشتراس مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگیهای غیر بصری که در همه جا پیوستهبود ولی در هر جا مشتق پذیر نبود. گراف این تابع اکنون برخال نامیده می‌شود. در سال ۱۹۰۴ هلگه فون کخ به همراه خلاصه‌ای از تعریف تحلیلی وایرشتراس، تعریف هندسی‌تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به برفدانه کخ معروف است. در سال ۱۹۱۵ واکلو سرپینسکی مثلثش را و سال بعد فرش‌اش (برخالی) را ساخت. ایده منحنیهای خود متشابه توسط پاول پیر لوی مطرح شد او در مقاله اش در سال ۱۹۳۸ با عنوان «سطح یا منحنیهای فضایی و سطوحی شامل بخش‌های متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد منحنی لوی c. گئورگ کانتور مثالی از زیرمجموعه‌های خط حقیقی با ویژگیهای معمول ارائه داد. این مجموعه‌های کانتور اکنون به‌عنوان برخال شناخته می‌شوند. اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم توابع تکرار شونده در سطح پیچیده توسط هانری پوانکاره، فلیکس کلاین، پیر فاتو و گاستون جولیا شناخته شده بودند. با این وجود بدون کمک گرافیک رایانه‌ای آنها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند. در سال ۱۹۶۰ بنوا مندلبروتحقیقاتی را در شناخت خودهمانندی طی مقاله‌ای با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟ خود متشابه‌ای آماری و بعد کسری» آغاز کرد. این کارها بر اساس کارهای پیشین ریچاردسون استوار بود. در سال ۱۹۷۵ مندلبرو برای مشخص کردن شئی که بعد هاوسدورف-بیسکویچ آن بزرگ‌تر از بعد توپولوژیک آن است کلمه «فراکتال» (برخال) را ابداع کرد. او این تعریف ریاضی را از طریق شبیه‌سازی خاص رایانه‌ای تشریح کرد.

برخال‌ها از نظر روش مطالعه به برخالهای جبری و بر خالهای احتمالاتی تقسیم می‌شوند. از طرف دیگر برخال‌ها یا خودهمانند اند self similarity یا خودناهمگرد self affinity هستند. در فراکتال ها به ما چه می گویند؟ خودهمانندی، شکل جزء شباهت محسوسی به شکل کل دارد. این جزء، در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می‌کند و کل را به وجود می‌آورد. اما در خودناهمگردی شکل جزء در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی‌کند. مثلاً در مورد رودخانه‌ها و حوضه‌های آبریز بعد برخالی طولی متفاوت از بعد برخالی عرضی است Vx = ۰. ۷۲–۰. ۷۴ و Vy = ۰. ۵۱–۰. ۵۲ (ساپوژنیکوف و فوفولا، ۱۹۹۳) از این‌رو شکل حوضه آبریز کشیده‌تر از زیر حوضه‌های درون حوضه‌است. به خودهمانندی همسانگرد isotropy می‌گویند. به خود ناهمگردی ناهمسانگرد anisotropy می‌گویند.

طبقه‌بندی

برخال‌ها همچنین بر اساس خود همانندی طبقه‌بندی می‌شوند. سه نوع خود همانندی وجود دارد:

خود همانندی دقیق – این قوی‌ترین نوع خود همانندی است.

گسترش رو به رشد رویکرد تک‌برخالی (مونوفراکتالی) اخیر، داده‌ها را با مجموعه برخالی، بجای بعد منفرد برخالی توصیف می‌کند. این مجموعه طیف چندبرخالی multifractal spectrum نامیده می‌شود و روش توصیف تغییرپذیری بر اساس طیف‌سنجی چندبرخالی به آنالیز چندبرخالی معروف است (فریش و پاریسی، ۱۹۸۵). روش چند برخالی به اندازه خودهمانندی آماری دلالت دارد که می‌تواند به صورت ترکیبی از مجموعه‌های به‌هم‌ تنیده برخالی [۲] مطابق با نمای مقیاس گذاری نمایش داده شود. ترکیبی از همه مجموعه‌های برخالی طیف چند برخالی‌ای را ایجاد می‌کند که تغییرپذیری و ناهمگنی متغیر مورد مطالعه را مشخص می‌کند. مزیت رویکرد چند برخالی این است که پارامترهای چندبرخالی می‌توانند مستقل از اندازه موضوع مورد مطالعه باشند. [۳]

کاربردها

از برخال‌ها به منظور آسان‌سازی در کارهای وابسته به مدل‌سازی پیچیدگی در زمینه‌های گوناگونعلمی و مهندسی استفاده می‌شود. از زمینه‌های مهم کاربردی گزینه‌های زیر را می‌توان برشمرد:

رابطه برخال و معماری

انسانها در روزگار قدیم در طبیعت می‌زیستند و مانند انسان دوره نوین، با طبیعت بیگانه نبودند، به این رو معماریشان با نظم طبیعت بود. آنها به این فرنود که در طبیعت رشد می‌یافتند، ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم برخال- رشد میافت، در نتیجه ساخته‌هایشان نیز دارای نظم برخال می‌بود.

مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند که به درک بهتری از جریان ریزگان (جزئیات) در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد. ویژگی‌های برخالی یک آمیزه معماری در پیوستگی زنجیروار ریزگان است. این پیوستگی زنجیروار برای جذابیت معماری لازم است. هنگامی که تنومی (شخصی) به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می‌شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با ریزگان جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی آمیزه را بیان کند که این یک ایده برخال است. [۱] [۴] [۵]

برخال و هنر

در هنر دوران‌های مختلف ساختارها و گونه‌ها و حتی نقاشی‌های گوناگونی را از برخال می‌بینیم. در این زمینه به ذکر ۲ نمونه بسنده می‌کنیم.

برخال در هنر آفریقا
برخال را در آثار نقاشانی چون جکسون پولاک و لاری پونز
فرکتالی نسبت شاخص آماری پیچیدگی که در یک الگو (به طور صریح، الگوی فراکتال ) چگونه تغییرات طی بزرگ‌شدن تغییر می‌یابد.

مندل بروت وقتی که بر روی تحقیقی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می‌کرد به این نتیجه رسید که هرگاه در مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که در مقیاس کوچکتر باشد. این بی‌نظمی ایجاد شده باعث ایجاد شاخه ریاضی نظریه بی‌نظمی به نام فرکتال گردید. این واژه برای اولین بار در سال ۱۹۷۵ توسط ریاضیدان لهستانی، بنوت مندل بروت مطرح گردید. واژه فرکتال (fractal) مشتق ازواژه لاتینی فرکتوس fractus یا fractura به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته وخرد شده، می‌باشد. فرهنگستان لغت و زبان فارسی کلمه برخال را برای فرکتال تصویب کرده‌است. فرکتال‌ها اشکالی اند که بر خلاف اشکال هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل‌ها اولاً سر تاسر نامنظم اند و ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است. مندل بروت در توضیح نظریه خود با انتخاب اصطلاح فرکتال بر یکی از مشخصه‌های اصلی این فرم هندسی که ناشی از ماهیت قطعه، قطعه شوندگی است، تأکید نموده است. به اعتقاد او، جهان هستی و تمامی پدیده‌های طبیعی به نوعی فرکتال می‌باشند. اواعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوه‌ها همانند مخروط نمی‌باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی‌کند. با مشاهده اشکال موجود در طبیعت، مشخص می‌شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست. هندسهٔ اقلیدسی (حجم‌ها کامل کره‌ها، هرم‌ها، مکعب‌ها واستوانه‌ها) بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند. ابرها، کوه‌ها، خط ساحلی و تنهٔ درختان همه با حجم‌ها اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس‌های کوچک نیز به ارمغان می‌آورند که یکی ازمهمترین خصوصیات فراکتال‌ها همین است. این بدین معناست که هندسهٔ فراکتال بر خلاف هندسهٔ اقلیدسی روش بهتری برای توضیح و ایجاد پدیده‌هایی همانند طبیعت است. زبانی که این هندسه به وسیلهٔ آن بیان می‌شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می‌توانند به فرمولها و قوانین ساده‌تری ترجمه و خلاصه شوند. فرکتال‌ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست؛ بنابراین «نامرتب» نیز نامیده شده‌اند و این نامنظمی درآنها به طور هندسی و در راستای مقیاس‌های گوناگون در داخل هرم تکرار می‌گردد. هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فرکتال است. به این سبب که خطوط صاف و پلانها فقط در دنیای ایده‌آل ریاضی وجود دارد. در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می‌تواند یک فرکتال باشد. جهان در فرم فیزیک (مادی) کلی خود پر هرج و مرج، ناممتد و نامنظم است اما در پس این ذهنیت و گمان اولیه قانونی منسجم و باقی نهفته که مبتنی بر نظم و دارای ترکیبی واضح است. بهترین راه برای تعریف یک فرکتال توجه به صفتها و نشانه‌های آن است. یک فرکتال «نامنظم» است، بدان معنی که در آن هیچ قسمت صاف وجود ندارد. فرکتال «خود مشابه» است، بدین معنی که «اجزا» شبیه کل می‌باشند. جسم فرکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می‌شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است. وقتی به یک جسم فرکتال نزدیک می‌شویم، تکه‌های کوچکی از آن که از دور همچون دانه هائی بی شکل تصور می‌گردید، بصورت جسمی مشخص با اشکالی کم و بیش همانند با تصویری که از دور دیده شده بنظر می‌رسد. در طبیعت نمونه‌های فراوانی از فرکتال‌ها وجود دارد. درختان، ابرها، کوه‌ها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم همه اجسام فرکتال هستند. بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می‌توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فرکتال نیز عنوان نمود. بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فرکتال می‌باشند. تراشه‌های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می‌توان در این مورد مثال زد. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده‌اند. اگر این عمل در داخل مثلث‌های متساوی الاضلاع جدید تا بی‌نهایت ادامه یابد، همواره مثلث‌هایی حاصل می‌شوند که مشابه مثلث اول هستند. در علم ریاضی فرکتال یک شکل مهندسی پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است. میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است.

در نهایت برای مقایسه اشکال فرکتال با اشکال اقلیدسی باید بدانیم:

- اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید می‌شوند حال آنکه اشکال فرکتال با فرایندی پویا بوجود می ایند. فرایندهای پویا دارای حافظه زمانی هستند و رفتار آنها با گذشته مربوط می‌گردد.

- اشکال فرکتال دارای خاصیت خودهمانندی است، طول این اشکال بی‌نهایت است اما در فضای محدود محصور شده‌اند.

- هندسه فرکتال دارای ساختارهائی با ظرفیت بالا است، درحالی که ظرفیت اشکال اقلیدسی بسیار محدود و حاوی اطلاعات تکراری است.

- هندسه فرکتال بیان ریاضی از معماری طبیعت است.

- مکانیزم ساختارهای فرکتالی بی نظمی است. در حقیفت فرکتال تصویر ریاضی از بی نظمی است.

همانگونه که قبلاً گفته شد فرکتال‌ها تصاویرهندسی چندجزیی هستندکه می‌توان آنها را به تکه هائی تقسیم نمود که هر تکه یک نسخه از کل تصویر باشد. بررسی فرکتال هاازنمای کلی مشتمل بر سه بخش می‌گردد:

از دید هندسی فرکتال به شیئی گفته می‌شوند که چهار ویژگی بارز زیر را دارا باشد:

ضربه‌ای که فروشنده را نابغه ریاضی کرد

می‌گوید: "نمی‌دانم چرا از مجذور کامل خوشم می‌آید. البته (شانزده) فقط مجذور کامل نیست. هم چهار به توان دو است هم دو به توان چهار. ولی من کلا از مجذورها خوشم می‌آید. در همه کارهای زندگی‌ام به کارشان می‌گیرم."

پجت شیفته ریاضی است. درکش از بعضی مفاهیم پیچیده ریاضی باعث شده به او لقب نابغه بدهند. استعدادش در کشیدن طرح‌های هندسی تکرارشونده (یا فراکتال) با دست کم‌نظیر است.

و این همه در حالی است که تحصیلات دانشگاهی ریاضی ندارد.

منبع تصویر، Jason Padgett

پجت پیش از آن که ضربه به سرش بخورد علاقه‌ای به ریاضی نداشت. فکروذکرش تفریح و خوش‌گذرانی بود. اما آن ضربه مغزش را دگرگون کرد

پجت تا هفده سال پیش دریک فروشگاه لوازم چوبی در شهر تاکوما در ایالت واشنگتن آمریکا کار می‌کرد. نه از ریاضی سر درمی‌آورد نه علاقه‌ای داشت سر دربیاورد. به قول خودش "سطحی" بود.

"زندگی‌ام حول دختر و خوش‌گذرانی و مست کردن می‌گذشت. صبح با سردرد از مستی شب قبل بیدار می‌شدم و شب دوباره دنبال دختر و خوش‌گذرانی بودم. می‎گفتم ریاضی چیز مسخره‌ای است. در زندگی واقعی به هیچ درد آدم نمی‌خورد. فکر می‌کردم حرف خیلی قشنگی می‌زنم. واقعا اعتقادم این بود."

اما شب ۱۳ سپتامبر ۲۰۰۲ همه چیز عوض شد.

پادکست چشم‌انداز بامدادی رادیو بی‌بی‌سی – دوشنبه ۱۹ اردیبهشت فراکتال ها به ما چه می گویند؟ ۱۴۰۱

آن شب جیسون باز هم به قول خودش دنبال خوش‌گذرانی بود که دو مرد در خیابان از پشت زدندش و کت چرمش را دزدیدند.

"یکی از مردها از پشت با چیزی کوبید به سرم. در یک لحظه هم ضربه را حس کردم هم صدایش را شنیدم. جلوی چشمم چیزی برق زد. انگار کسی عکس گرفته باشد. بعد افتادم. زمین و زمان دور سرم می‌چرخید. نمی‌فهمیدم کجا هستم و چطور از آنجا سر درآورده‌ام."

پجت به سختی خودش را به نزدیک‌ترین بیمارستان رساند. گفتند دچار ضربه مغزی شده و کلیه‌اش هم به خاطر مشتی که خورده خون‌ریزی کرده. آن‌طور که یادش مانده، پس از مدتی مسکن برایش تجویز کردند و مرخصش کردند.

اما کمی بعد از حادثه عادت‌ها و رفتارهای جدید پیدا کرد. ضربه مغزی می‌تواند به اختلال وسواس فکری-عملی (یا او-سی-دی) منجر بشود. در مورد جیسون، این اختلال به شکل ترس از محیط بیرون بروز کرد، به حدی که جز برای خرید خوراکی از خانه خارج نمی‌شد. مدام نگران بود میکروب به بدنش وارد شود.

"هر وقت دخترم که با همسر سابقم زندگی می‌کرد به خانه‎ام می‌آمد، می‌گفتم کفش‌هایش را در بیاورد و لباسش را عوض کند و دستش را بشورد. خودم هم مدام دستم را می‌شستم و خانه را می‌سابیدم."

اما در کنار این مشکلات، یک اتفاق حیرت‌انگیز هم داشت می‌افتاد: جوری که جیسون دنیا را می‌دید عوض شده بود.

"هر چیزی که انحنا داشت، پله‌پله می‌دیدم. آبی که از ناودان سرازیر می‌شد دیگر یک شکل روان و پیوسته نداشت. انگار پاره‌خط‌های کوچک مماس بر هم بود."

منبع تصویر، Getty Images

پجت بعد از مضروب شدن منزوی شد و وسواس‌های عجیب پیدا کرد

یجت ابر و برکه و نوری که از لای برگ درختان می‌گذشت را هم همین‌طور می‌دید. دنیا برایش شکل یکی از این بازی‌های کامپیوتری قدیمی شده بود. نمی‌دانست با این تصویر که از بیخ با آنچه پیش از این در جهان پیرامونش دیده بود فرق داشت، چطور کنار بیاید.

دیدن این تصویرها باعث شد به ریاضی و فیزیک علاقمند شود. چون از خانه بیرون نمی‌رفت، تمام‌وقت روی اینترنت مشغول خواندن مطالب مرتبط با ریاضی بود، تا اینکه با فراکتال‌ها آشنا شد.

توضیح مفهوم ریاضی فراکتال آسان نیست. در شکل ساده‌اش، چیزی است مثل یک دانه برف. وقتی از نزدیک نگاهش کنید، طرح‌ دانه برف‌های ریزتری می‌بینید که به هم وصل شده‌اند. و اگر جلوتر بروید، همان دانه‎های ریزتر هم از شکل‌های مشابه ریزتری ساخته شده‌اند. و این سیر تا بی‌نهایت ادامه دارد.

یجت شیفته این مفهوم یا این شکل‌ها شده بود. اما نمی‌دانست چطور چیزی را که می‌بیند توضیح بدهد.

یک روز دخترش از او پرسید تلویزیون چطور کار می‌کند. جواب داد: "وقتی یک چیز دایره‌ای شکل روی صفحه تلویزیون می‌بینی، در واقع دایره نیست. تعدادی مستطیل یا مربع است. اگر از خیلی نزدیک نگاه کنی، لبه دایره زیگ‌زاگ است. می‌توانی هر کدام از آن پیکسل‌ها را نصف کنی و شکلت به دایره نزدیک‌تر می‌شود. می‌توانی تا ابد پیکسل‌ها را نصف کنی، و هر بار آن شکل به یک دایره کامل نزدیک‌تر می‌شود، اما هرگز دایره کامل نمی‌شود."

پجت احساس می‌کرد می‌خواهد بیشتر در مورد این مفهوم بداند. شروع کرد به کشیدن اشکال هندسی. بی‌وقفه می‌کشید.

"حدود هزار تا طرح کشیدم: دایره، فراکتال، هر طرحی که می‎توانستم بکشم. کشیدن این طرح‌ها تنها راهی بود که می‎توانستم آنچه را که می‎دیدم بیان کنم."

پجت حس می‌کرد چیزهایی که می‎کشید "کلید (کشف) گیتی" است. طرح‌ها آن‌قدر برایش مهم بودند که اگر از خانه بیرون می‎رفت با خود می‎بردشان.

یکی از آن روزهای نادری که بیرون رفته بود، مردی که طرح‌ها را در دستش دیده بود کنجکاو شد. پجت برایش توضیح داد که با آن طرح‌ها می‎خواهد "ساختار پنهان فضا-زمان را بر مبنای واحد طول پلانک" توصیف کند. از قضا آن مرد فیزیکدان بود و ریاضیات پیچیده طرح‌های پجت را می‌فهمید. او را تشویق کرد در کلاس‌های ریاضی شبانه دانشگاه ثبت نام کند.

منبع تصویر، Jason Padgett

پجت بعد از حمله متوجه شد می‌تواند با دستش طرح‌های پیچیده هندسی (یا فراکتال) بکشد

پجت سرانجام زبان بیان وسواس‎هایش را پیدا کرد. پس از سه‌ونیم سال انزوای کامل، ثبت‎نام در مدرسه زندگی پجت را دگرگون کرد. برای فراکتال ها به ما چه می گویند؟ کنار آمدن با وسواس‌هایش سراغ روان‌پزشک رفت، و کمی بعد با زنی آشنا شد که بعدها همسرش شد.

اما پرسشی که هنوز در این روایت به آن نپرداخته‌ایم، پرسشی که برای خود پجت هم بی‌پاسخ مانده بود، این است که چرا همه چیز را این‌گونه که توصیف کردیم می‌دید؟ چرا جهانش به مجموعه‌ای از نمودارها و اشکال هندسی بدل شده بود؟

این بار هم - مثل آن روز که دخترش به خانه‌اش آمده بود - پاسخ، یا دستکم سرنخ، از تلویزیون بیرون آمد.

پجت در یک برنامه تلویزیونی یک مرد مبتلا به سندروم ساوان را دید که توانایی خارق‎العاده‎ای در حساب کردن داشت، و در آن برنامه تعریف می‌کرد که اعداد را چطور می‌بیند. پجت می‌گوید این اولین بار بود فراکتال ها به ما چه می گویند؟ که می‌دید یک نفر دیگر هم ریاضی را در قالب اشکال می‌بیند نه اعداد.

باز هم به اینترنت متوسل شد و در تحقیق‌هایش به یک عصب‌شناس به نام بریت بروگارد برخورد. با او تماس گرفت. پس از ساعت‌ها گفتگو، بروگارد به این نتیجه رسید که پجت سینستزیا (یا حس‌آمیزی) دارد -- فرایندی که در آن تحریک یک گذرگاه حسی در مغز فراکتال ها به ما چه می گویند؟ خودبخود یک گذرگاه حسی دیگر درک می‌شود. مثلا شخص وقتی موسیقی می‌شنود رنگ می‌بیند، یا وقتی احساس خاصی می‌کند، بوی چیزی به مشامش می‌رسد که واقعا آنجا نیست.

حس‌آمیزی حاصل ارتباط بخش‎هایی از مغز است که در مغز بیشتر آدم‌ها با هم ارتباط ندارند. این پدیده در حدود چهار درصد افراد به چشم می‌خورد. ممکن است مادرزاد باشد یا در اثر یک سانحه، سکته، یا حتی واکنش شدید به یک آلرژی پیش بیاید.

به ضيافت فراکتال برويد!

نويسنده: بهمن اصغرزاده امين

فرکتال ها اشکال شگفت انگيزي هستند که در هر جزئي از آنها، مي توان تصوير کل را مشاهده کرد. جالب آن که با برنامه هاي رايانه اي ساده، مي توان اين اشکال را آفريد و از ديدن جلوه هاي گوناگون آنها لذت برد.

فراکتال ها مبحثي در رياضيات و هندسه هستند که براي بعضي از افراد جذابيت خاصي دارند. اين اشکال، از شکل هايي به شکل خودشان ساخته مي شوند. يا به عبارت ديگر، اگر يک شکل کامل را به عنوان شکل اصلي در نظر بگيريم و آن را به درستي تجزيه کنيم، شکل اصلي را در آن مشاهده خواهيم کرد. در واقع، فراکتال ها، اشکال خود تکرارشونده هستند. «مندلبروت»(2) در کتاب خود به نام «هندسه فراکتالي طبيعت»، فراکتال ها را اين گونه تعريف مي کند: «يک شکل هندسي ناصاف يا گسسته که بتواند به قسمت هايي تقسيم شود که هر کدام از آنها (حداقل تا حدودي) يک نسخه کوچک شده از کل باشد.»
فراکتال از واژه لاتين Fractus به معناي گسيخته، شکسته و. گرفته شده است. شکل فراکتال ها را هر چقدر بزرگنمايي کنيد، باز قسمتي از شکا اصلي را مي توان در آن ديد. از اين رو شايد بتوان گفت به نوعي جاي دادن بي نهايت در يک فضاي محدود است که به نوعي زيبايي خلقت است.
فراکتال ها را به راحتي مي توان در طبيعت پيدا کرد. يکي از بارزترين نمونه هاي آن، گل کلم است. نمونه ديگر، درخت است. اگر به شاخه هاي آن دقت کنيد، مي توانيد تا حدودي يک توالي را ببينيد. حالا به برگ هاي آن دقت کنيد (در صورتي که پهن برگ باشد). در آن صورت مي بينيد که خطوط داخل آن هم به نوعي تکرار شده اند. نمونه هاي ديگر، سنگ هاي دامنه کوه، دانه هاي برف، کلم بروکلي، شبکه رگ ها و سرخس است. اگر از فاصله دور به سواحل نگاه کنيد و مرتبا فاصله خود را کم کنيد، تکرار شدن حدودي خطوط ساحل در خودش را خواهيد ديد.
ترسيم فراکتال ها، با کاغذ و قلم کار ساده اي نيست، اما با کمک نرم افزارهاي رايانه اي، اين کار بسيار ساده مي شود و در کسري از ثانيه مي توان شکل کامل آن را مشاهده کرد و در صورت دلخواه تغييراتي در ضرايب داد و نتيجه را مشاهده کرد. براي کار با فراکتال ها، نرم افزارهاي متعددي نوشته شده است که مي توانيد از هر کدام به دلخواه خود استفاده کنيد. دو نرم افزار که کار با فراکتال ها را ساده مي کنند، Fraqtive و Xaos هستند.

ریاضیات قانون کیهان

مفهوم هندسه فراکتالی بسیار ساده است . این مبحث به دانستن سه مطلب اصلی که در ریاضی دوره دبیرستان آموختیم ، نیاز دارد :

به ساده ترین بیان فراكتال ها :

1- خود همانند هستند و آرایش تكرار شونده دارند.

2- بعد اعشاری دارند.

در مورد این ویژگی ها بعداً توضیح خواهیم داد.

خود همانندی در اشكال هندسی

فراكتال ها خود همانند(خود متشابه) هستند بدین معنی كه:

یك فراكتال: درهر اندازه ای، وبا هر مقیاسی، مشابه مقیاسهای دیگر به نظر می رسد. (کل شکل از اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.)
به این خاصیت خود همانندی می گویند

مثلا درمثلث سرپینسکی مثلث بزرگ از مجموعه ای مثلثهای همسان به وجود آمده است. این یکی ازخصوصیات زیبای فراکتالهاست که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است.اگر تا به حال به یک برگ سرخس نگاه کرده باشید، می توانید متوجه تشابه اجزای مختلف آن شوید. ساختار کل ساقه همانند یک برگ و ساختار یک برگ همانند یک جزو کوچک آن است.
اگر فرصت کردید نگاهی هم به سواحل دریاها یا تصاویر هوایی کوهستان ها و گیاهان اطرافتان بیندازید،بسرعت درخواهید یافت که در جهانی آشوب زده احاطه شده اید. اگر هنوز از این موجودات ساده و در عین حال پیچیده هیجان زده نشده اید، این نکته را هم بشنوید.این اجسام نه یک بعدی اند، نه دو بعدی و نه سه بعدی.
این ها ابعادی کسری دارند. فراکتالها دقیقا به دلیل همین خاصیت ویژه ای که دارند، زمانی توانستند روشی برای ذخیره سازی تصاویر ارائه دهند. معمولا زمانی که یک تصویر گرافیکی قرار است به شکل یک فایل تصویری ذخیره شود، باید مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گیری پیکسل و رنگ آن به صورت داده هایی عدی ذخیره شود و زمانی که یک مرور گر بخواهد این فایل را برای شما به تصویر بکشد و نمایش دهد، باید بتواند این کدهای عدی را به ویژگیهای گرافیکی تبدیل کند و آن را به نمایش بگذارد. مشکلی که در این کار وجود دارد، حجم بالایی از داده ها ست که باید از سوی نرم افزار ضبط کننده و تولید کننده بررسی شود.
اگر بخواهیم تصویر نهایی ما کیفیتی عالی داشته باشد،نیازمند آنیم که اطلاعات هریک از نقاط تشکیل دهنده تصاویر را با دقت بالایی مشخص و ثبت کنیم و این حجم بسیار بالایی از حافظه را به خود اختصاص می دهد، به همین دلیل ، روشهایی برای فشرده سازی تصویر ارائه می شود.
اگر نگاهی به فایلهایی که با پسوندهای مختلف ضبط شده اند، بیندازید متوجه تفاوت فاحش حجم آنها می شوید. برخی از این فرمتها با پذیرفتن افت کیفیت بین تصویر تولیدی و آنچه آنها ذخیره می کنند، عملا این امکان را در اختیار مردم قرار می دهند، که بتوانند فایلها و تصاویر خود را روی فلاپی ها و با حجم کمتر ذخیره کنند یا روی اینترنت قرار دهند.
برای این فشرده سازی از روشهای مختفی استفاده می شود. درواقع در این فشرده سازی ها بر اساس برخی الگوریتم های کار آمد سعی می شود به جای ضبط تمام داده های یک پیکسل مشخصات اساسی از یک ناحیه ذخیره شود، که هنگام باز سازی تصویر نقشی اساسی تر را ایفا می کنند.
در اینجاست که روش فراکتالی اهمیت خود را نشان می داد. در یکی از روشهایی که در این باره مطرح شد و با استقبال بسیار خوبی از سوی طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصیت الگوهای فراکتالی بود. در این روش از این ویژگی اصلی فراکتالها استفاده می شد که جزیی از یک تصویر در کل آن تکرار می شود.برای درک بهتر به یک مثال نگاهی بیندازیم. فرض کنید تصویری از یک برگ سرخس تهیه کرده اید و قصد ذخیره کردن آن را دارید.
همان طور که قبلا هم اشاره شد، این برگ ساختاری کاملا فراکتالی دارد؛ یعنی اجزای کوچک تشکیل دهنده در ساختار بزرگ تکرار می شود.
بخشی از یک برگ کوچک ،برگ را می سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلی را تشکیل می دهد. اگر بخواهیم تصویر این برگ را به روش عادی ذخیره کنیم ، باید مشخصات میلیون ها نقطه این برگ را دانه به دانه ثبت کنیم ، اما راه دیگری هم وجود دارد. بیایید و مشخصات تنها یکی از دانه های اصلی را ضبط کنید. در این هنگام با اضافه کردن چند عملگر ریاضی ساده بقیه برگ را می توانید تولید کنید.
در واقع ، با در اختیار داشتن این بلوک ساختمانی و اعمال عملگرهایی چون دوران حول محورهای مختلف ، بزرگ کردن یا کوچک کردن و انتقال می توان حجم تصویر ذخیره شده را به طور قابل توجهی کاهش داد.
در فراکتال ها به ما چه می گویند؟ این روش نرم افزار نمایشگر شما هنگامی که می خواهد تصویر را بازسازی کند، باید ابتدا بلوک کوچک را شبیه سازی کرده ، سپس عملگرهای ریاضی را روی آن اعمال کند، تا نتیجه نهایی حاصل شود.
به نظر می رسد این روش می تواند حجم نهایی را به شکل قابل ملاحظه ای کاهش دهد، اما تنها یک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم این نکته است که همه اشیای اطراف ما برگ سرخس نیستند و بنابراین الگوهای تکرار در آنها همیشه اینقدر آشکار نیست.
بنابراین باید روشی بتواند الگوهای فراکتالی حاضر در یک تصویر را شناسایی کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.
به همین دلیل ، معمولا روش فراکتالی با روشهای فشرده سازی دیگر همزمان به کار برده می شود؛ یعنی اگر الگوهای تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازی امکانپذیر باشدالبته زیاد نگران ناکارامدی این روش نباشید. یادتان نرود، شما در جهانی زندگی می کنید که براساس یافته جدید ساختاری آشوبناک دارد.
مطمئن باشید هندسه فراکتال بر بسیاری از اشکال عالم حاکم است ؛ حتی اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.

آرایش تكرار شونده

فراكتال ها اغلب با مراحل تكراری ایجاد می شوند.برای ساخت یك فراكتال:

یك شكل هندسی مثل یك خط یا مثلث را در بگیرید و روی شكل مورد نظر عملیاتی انجام دهید،‌حال شكلی پیچیده تر از شكل اولیه دارید.

همان عملیات را روی شكل جدید انجام دهید، اینبار شكلی پیچیده تر از قبل دارید.

باز همان عملیات را تكرار كنید و الی آخر. به نظر می رسد می توان تا بی نهایت ادامه داد.

هر عملیات تكرار شونده روی اشكال، منجر به پیدایش فراكتال ها نمی شود. مثلاً یك خط را بخش بخش كنید و تا بی نهایت این كار را ادامه دهید،‌یك فراكتال ایجاد نخواهد شد.

در ادامه، مراحل تكرار در یك فراكتال را برسی می كنیم:

بخشی از یك خط را در نظر بگیرید و یك سوم میانی آن را خارج سازید.آنچه باقی مانده یك خط است با یك فضای خالی میانی

این كار را تكرار كنید یعنی یك سوم میانی بخش های باقی مانده خط را خارج سازید. حال تصور كنید این كار را تا بی نهایت انجام می دهید. آنچه حاصل می شود فراكتال معروفی به نام " غبار كانتور" است.

تولید اشکال فراکتالی :

اشکال فراکتالی معمولا به کمک توابع بازگشتی تولید می شوند.مثلا تابع بازگشتی f(n)=f(n)*f(n)+c یا f(n)=f(n)^2+c یک تابع فراکتال است. این معادله ی به خصوص یک فراکتال معروف ، موسوم به مجموعه ی جولیا را تشکیل می دهد

در این معادله c یک عدد مختلط (شامل یک عدد موهومی) است که می تواند هر مقداری باشد و نتیجه ی آن یک مجموعه ی جولیای متفاوت باشد. n به جای مختصات نقطه قرار می گیرد

این موضوع را در نظر داشته باشید زیرا به زودی به آن باز می گردیم . این مختصات ویژه هستند زیرا همان طور که حدس زدید اعداد موهومی را در بر می گیرند.هنگامی که این مختصات

(x,y) هستند ، در هندسه ی فراکتال به صورت x+iy نشان داده می شوند . به عبارت دیگر ، x

مقداری ثابت و y یک عدد موهومی است . همان طور که در مبحث اعداد مختلط مشاهده کردید، محور x نشان دهنده ی اعداد حقیقی و محور y نشان دهنده ی اعداد موهومی است .

حال به تابع فراکتال بر می گردیم . از مختصات (x+iy) به جای n استفاده می کنیم . حالا می پرسید که این تابع چه طور نمودارهای بزرگ فراکتال را می سازد . بسیار خوب ، نتیجه ی یک تابع ، به جای این که یک خط شود ، تنها یک نقطه را نمایش می دهد ـ که اگر ما به تعریف یک نقطه نگاه کنیم ، می تواند بی نهایت کوچک باشد ـ که بیان می کند چه طور می توانیم یک قسمت از یک فراکتال را بزرگ کرده و به فراکتال جدید کاملی برسیم . نقطه در مختصات n قرار دارد . البته فراکتال ها بسیار رنگارنگ هستند. حالا این رنگ ها چه طور انتخاب می شوند؟ مثل هر چیز دیگر ، نسبتاً ساده است . ابتدا لازم است که یک نقطه را رنگ کنید ، بیایید نقطه (2+1i)

را در نظر بگیریم . برای مقدار c از (1+1i) استفاده می کنیم . به خاطر آورید که c می تواند

(a روی نمودار قرار نمی گیرد (مثال : در یک نمودار10*10 مؤلفه های جدیدی که به دست می آیند(97 ، 234-) هستند)

(b هرگز نمودار را ترک نمی کند(این قانون بعد از 200 بار تکرار ، اگر نقطه باز هم روی نمودار باشد ، صادق است.)

نحََوه ی انتخاب رنگ به این صورت است کهاگر نقطه بعد از یک بار تکرار نمودار را ترک کند ، یک رنگ به آن نسبت می دهیم . هرنقطه بعد از آن ، که بعد از یک تکرار نمودار را ترک کند ، همان رنگ را دارد . تمامنقاطی که بعد از 2 تکرار نمودار را ترک می کنند ، با یک رنگ مشخص نشان داده می شوندو هر نقطه ای که نمودار را هرگز ترک نکند با رنگ متمایز معمولاً سیاه علامت گذاریمی شود . بعد از انجام این فرایند ، برای تمام نقاط داخل این صفحه ، نتیجه ای نظیراین مجموعه ی جولیا می شود .

تابع f(فراکتال ها به ما چه می گویند؟ x)=f(x-1)^2+c فراکتال دیگری را موسوم به مجموعه ی مندلبرات می سازد.

همان طور که می بینید ، دربسیاری از حالات ، 200 تکرار لازم است تا تنها یک نقطهتعیین

شود . در اغلب کامپیوترها ،معمولاً تعداد نقاط برای یک فراکتال 303,200 تاست . بههمین

دلیل است که برای محاسبه یعملیات زیاد و دقت انجام آن ها به کامپیوتر نیاز داریم.

فراکتال ها تصویری از یک زندگی واقعیدارند . کامپیوترها می توانند یک شکل واقعی را بگیرند و با انجام تکرار زیاد به آنشکل تخیلی بدهند . یک معادله ی فراکتال می توان ساخت که ََکنند.

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه اینام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازیفایلهای تصویری بازی کردند.

این ها مختصات جدید ما هستند . به یاد آورید که اگر یک مجموعه از مختصات را در یک تابع قرار دهید ، نتیجه یک مجموعه ی جدید از مختصات است . 4+5i مجموعه ی مختصات جدید است . هنوز کار تمام نشده است ، عمل بالا یک تکرار را نشان می دهد .

فرکتال های مینیمالیست مسحور کننده

آنها می گویند شما نمی توانید با استفاده از الگوریتم های فراکتال هنرهای زیبا خلق کنید. اما هنرمند دیجیتال مستقر در فنلاند Jukka Korhonen تصمیم گرفته تا ثابت کند که آنها اشتباه می کنند.

هنر فراکتال زیرمجموعه ای از هنرهای تجسمی دو بعدی است که تصاویر را از محاسبات یک شی فراکتال تولید می کند (شکل هندسی تکه تکه شده که می تواند به بخش هایی تقسیم شود و کپی با اندازه کوچک شده از کل است). نمونه هایی از این نوع هنر عبارتند از مجموعه جولیا و مجموعه Mandlebrot، که هر دو شامل ویژگی فراکتال خود شباهت هستند.

به دلیل ماهیت ریاضی آن، هنر فراکتال در درجه اول یک ژانر از هنر کامپیوتری و دیجیتال در نظر گرفته می شود. بنابراین، چالش کورهونن این بود که ویژگی‌های زیبایی‌شناختی یک نقاشی نفیس را که به سبک مینیمال انجام شده بود، نشان دهد. نتیجه مجموعه‌ای از آثار در حال انجام است که در یک گالری هنرهای زیبا به نظر می‌رسد.